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Interesting Physics 1 | 有趣的物理 1

大过年的需要补篇文章来庆祝一下。正好前几天录节目的时候有一个物理题目,虽然THU队伍没有抢到,但这个题很有意思,还有很多引申。大过年的开动脑筋啦,正好也测试下一位IMO学长大神写的LaTex for WordPress的公式插件是否好用:)

问题:

问1:地球如果是球对称的,地球表面和地下100km处,哪个地方的重力加速度较大?地球平均密度5500kg/m3,地壳密度3000kg/m3。(地壳厚度可认为至少为100km。)

问2(图1左、中两图):宇宙事件测试学会给它的一个专家发送了一份简报:

一艘噬钛的小绿人的宇宙飞船发现了一个完全呈球形的小行星。从小行星的表面上A点到其中心O点,他们钻了一个很窄的试验用的矿井,从而证明了整个小行星由均匀的钛组成。在表面上那一点,突然一个小绿人从小行星表面掉进了试验井里,一直到达O点,在那儿他因为撞击而死去了。

工作仍然继续,小绿人们秘密采钛金属,他们在小行星的内部形成了一个直径为AO的球形腔。第二个小绿人不小心从A点掉到O点,挂了。

宇宙事件测试学会要求专家计算撞击速度比值,及两个小绿人从A点掉到O点所用时间的比值。

问3(图1右图):上问中小绿人们继续开采,不久小行星的一半被开采光了,仅留了一个规则的半球体。如果原来的球形小行星表面重力加速度为g0=9.81cm/s2,请问余下的半球的圆形表面的中心位置的重力加速度是多大?

问4:小绿人们发现了另一个质量均匀分面、半径为10km的钛金属小行星。它们开始开采,并将采到的矿运到小行星表面。小绿人绕小行星的赤道钻了一个宽度为1m的矿井,它们通过这个井来开采,直到它们将小行星完全切割成了两半。然后事故发生了,将小行星分成两个半球的支柱断裂了,小行星塌了下来。宇宙事件测试学会专家们要计算在小行星坍塌前,作用在支柱上的总作用力是多少?

(以上四问选自《200道物理学难题》200 Puzzling Physics Problems, Peter Gnadig, Gyula Honyek, Ken RiLey, 北京理工大学出版社,2005年)

phy01

图1: 对应问题1-3

提示:

问题1:质量均匀分布的薄球壳在其内部产生的重力场为零(类似电磁学中的高斯定理),而在球壳外部的重力场分布,同把球壳总质量认为集中在球心时的情况相同。

问题2:均匀球体内部的重力场与球半径成正比。本题可用叠加法,构想一个负质量的球体。

问题3:将半球分成等厚半球壳,证明这些球壳的每一个都在所求位置产生相同的重力场。

phy02

图2:左,问题2解;中,问题3解;右,问题4解

解答:

问题1:

质量均匀分布的薄球壳在其内部产生的重力场为零(类似电磁学中的高斯定理),而在球壳外部的重力场分布,同把球壳总质量认为集中在球心时的情况相同。

厚度为100km的球壳对应半径为6400km的地球总体积的4.6%,但其质量只占地球总质量的2.5%。重力加速度可用 ($g=\frac{GM}{r^2}$) 来计算,其中M是位于半径r处内部的质量。在地表下100km深度,对重力加速度有贡献的地球的那一部分质量为0.975M,半径为0.984r。将上面的数据代入前式可得地表下100km处的重力加速度比地表处大0.7%。

更一般的情况,可证,如果地壳密度不超过地球平均密度的三分之二,那么在地壳内越接近地心,重力加速度越大。

问题2:

小行星密度设为$\rho$,半径为R。半径为r处的重力加速度为:

$$g(r)=G\frac{m(r)}{r^{2}}=G\frac{(43)\pi r^{3}\rho}{r^{2}}=\frac{4\pi G\rho}{3}r$$

因此,重力加速度是与小行星的中心距离成比例的,并且总指向地心。这意味着小绿人的运动是简谐振动(振幅为R),并且经过第一个四分之一周期后撞到地心。下落时间为:

$$T_1=\frac{T}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$$

速度为:

$$v_1=R\omega=2R\sqrt{\frac{\pi G\rho}{3}}$$

第二个事件发生时,我们可以用叠加法:球形由充满钛金属的大球与被挖空的负质量的球组成。对于任意一点,大球引力矢量r指向大球球心,小球引力矢量c从小球球心指向此点。引力矢量叠加后r+c,为一常量,且从小球球心指向大球球心。意味这腔体内是一个均匀的重力场,与位置无关。

$$g=-\frac{\omega ^2 R}{2}$$

第二个小绿人下落的时间和速度可由匀加速运动方程得到:

$$T_2=\frac{2}{\omega}=\sqrt{\frac{3}{\pi G\rho}}$$

$$v_2=2R\sqrt{\frac{\pi G\rho}{3}}$$

两个事件给出的比值应该为:

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\pi}{4}$$

$$\frac{v_1}{v_2}=1$$

可以看出第二个小绿人下落时间比第一个长,但两者以相同的速度撞到地心。这不是偶然。因为动能由重力势能转化而来,第二例中等效大小球势能叠加,小绿人从A到O的过程中正好从负引力的小球的一个表面到了另一个表面,小球引起的势能没有减少,只有大球引起了势能的变化,所以两个小绿人的势能变化相同。

另可以证明,在均匀球体任意两点打一个贯通的洞(不一定穿过地心),小绿人在洞里都是简谐振动,而且周期完全相同。(见赵凯华《力学》)

问题3:

设半球被分成许多个同心且厚度相同的半球壳。因为一个球壳的质量与其半径的平方成正比,而产生的作用力又与半径平方成反比,所以不同半球壳在中心处产生的重力加速度是相等的。如果有n个半球壳,那么最外层半球壳的质量为 2πR2(Rn)ρ ,其中R为小行星的半径, ρ 为小行星密度。由半球体产生的总重力场是由最外层半球壳产生的重力场的n倍(因为每层产生的都相同),也就是说,这个半球的引力场等效于把质量 M=2πR3ρ 集中在最外层球壳上。这个质量是实际半球体质量的三倍。

质量为M的半球壳作用力如何呢?单位表面积上作用力为:

$$p=G\frac{\frac{M}{2\pi R^2}}{R^2}=G\frac\rho R$$

将这个作用力沿半球壳积分,可以类比与一种液体以压强p作用在同样的半球壳上时,求作用力。因为液体作用在完整半球体上的合力为零,所以液体在半球体曲面上的总作用力大小相等。(图2中间)

$$g=p\pi R^2=G\rho R\pi$$

小行星表面的初始重力加速度为:

$$g_0=G\frac{4\pi R^3}{3}\rho\frac{1}{R^2}$$

从上面计算可得到:

$$g=\frac{3}{4}g_0=7.36cm/s^2$$

已知钛的密度,可确定小行星原来的半径约为78km。

问题4(图2右):

当球体被分开时,系统重力势能增加。由于重力势能增加W有同样的值。当小绿人将原来位于半径为R,厚度为d的圆盘内的金属钛运到表面上时,通过计算小绿人所做的功就可以计算出重力势能的增量。

如果g表示质量为M的行星表面的重力加速度,那么距离中心为x处的重力加速度为 g(x)=xg/R 。小行星密度可表示为 ρ=3M/(4πR3) 。考虑原来位于半径为 x 和 x+Δx 之间的钛金属,它的体积为 ΔV=d2πxΔx ,质量为 Δm=ρΔV 。金属全被从同样深度运上去。在原位置有一个力 Δmgx/R 作用在它们上面,同时在小行星表面上的力为 Δmg 。当小行星的内部向表面运动时,重力场单调增加,所以可用初始作用力和最终作用力的算数平均值。总位移是 R−x ,因此做的功是:

$$\Delta W=\Delta mg\frac{1+(x/R)}{2}(R-x)=\Delta mg\frac{R^2-x^2}{2R}=\frac34\frac{Mgd}{R^4}(R^2-x^2)x\Delta x$$

积分可得:

$$ W=\frac34\frac{Mgd}{R^4}\sum (R^2-x^2)x\Delta x=\frac34\frac{Mgd}{R^4}\int_{0}^{R}(R^2-x^2)xdx=\frac{3}{16}Mgd $$

作用力:

$$F=\frac{W}{d}=\frac{3Mg}{16}=\frac{3}{16}M\frac{GM}{R^2}=\frac{3}{16}(\frac{4\pi R^3\rho}{3})^2\frac{G}{R^2}=\frac{GR^4\rho^2\pi^2}{3}\approx 4.5X10^{13}N$$

如果有浏览器显示公式有问题,可以试试Chrome。

春节快乐!